Формула эффективной процентной ставки — почему она важна.

На сегодняшний день каждый пятый гражданин России имеет собственный счёт, на который ежемесячно начисляются определённые проценты. Ежегодно количество банковских клиентов продолжает расти, так как это наиболее эффективный и простой метод увеличить собственный капитал. Некоторые люди вкладывают небольшие суммы, стремясь за несколько лет скопить ребёнку на образование, другие откладывают на машину, а есть и те, кто живёт исключительно за счёт процентной ставки, вложив огромную сумму, которая постоянно приносит соответствующий доход.

Став клиентом банковской системы, вам больше не надо ни о чём думать, и вы запоминаете только конечную сумму по своему вкладу и сроки выплат. Но, не пытаясь глубже вникнуть в эти сложные экономические процессы, вы автоматически теряете определённую часть своего капитала. В этой статье мы подробно разберём, что такое эффективная процентная ставка по вкладу, и чем она отличается от остальных.

Номинальная и эффективная ставка, в чём разница

Как правило, банковские сотрудники озвучивают клиенту только номинальную ставку по вкладу, которая не отражает всех его возможностей и не учитывает сопутствующие риски. Выражаясь простыми словами, номинальная ставка отражает только настоящую картину на определённый момент, не давая никаких долгосрочных прогнозов. Что касается эффективной ставки, то она всегда будет выше номинальной, так как с её помощью идёт расчёт заданной периодичности, который впоследствии прибавляется к телу депозита.

Итак, эффективная процентная ставка – это сложный экономический коэффициент, позволяющий узнать сумму настоящего дохода с учётом всех дополнительных показателей.
Получается, что номинальная ставка отражает неправильную картину , выгодную банковской системе, а эффективная ставка помогает разобраться и понять реальные возможности вложенной вами суммы.

Эффективная ставка всегда будет выше номинальной

Как это работает в жизни?

Можно бесконечно апеллировать сложными экономическими терминами, которые на самом деле многим будут непонятны. Но наша задача научить вас самостоятельно разбираться в банковских системах, чтобы вы могли извлекать из вклада максимальную прибыль.

Давайте разберём две условные ситуации:

1. Человек сделал банковский вклад на сумму в 7 тыс. рублей по номинальной ставке, скажем, в 15% годовых на двенадцать месяцев. По истечении срока своего договора он получает на руки 8050 рублей.
2. Его коллега тоже сделал аналогичный вклад в том же банке, но уже по эффективной ставке, рассчитав ежемесячную капитализацию процентов. Но так как выплата будет происходить ежемесячно, ставка 15% тоже делится на 12 месяцев, итого мы получаем 1,25%. Таким образом, проведя лёгкий расчёт, мы понимаем, что за первый месяц человек заработал 87.5 рублей. Соответственно, в следующем месяце проценты будут начисляться не на 7 тыс. рублей, а на 7087.5. Если просчитать ещё 11 месяцев, то получится, что финальный доход второго человека будет несколько выше, нежели первого, несмотря на одинаковую сумму вклада и процентную ставку.

Заключая договор с банком, вы всегда видите только номинальную ставку, и думать, как рассчитать эффективную вам придётся самостоятельно. Некоторые люди всецело доверяют банку, надеясь на их честность и порядочность. Но не стоит забывать, что каждый хочет заработать денег и извлечь максимум выгоды, а в особенности это касается банковских сотрудников. Зная тонкости номинальной и эффективной ставки, вы будете дополнительно защищены от мошенничества и заранее понимать, какую сумму вы должны получить по истечении договора.

Как рассчитать эффективную процентную ставку?

Для того чтобы уметь быстро и, главное, правильно просчитать процентную ставку по своему вкладу, существует специальная формула расчёта (смотрите рисунок ниже).

Формула расчёта эффективной процентной ставки

Перед вами формула сложных процентов, применяемая для вычисления процентной ставки. Но математический язык понимают далеко не все, поэтому давайте разберём каждый пункт отдельно простыми словами:

• ЕС – финальный доход, который вы получите по окончании договора;
• С – номинальная ставка по вкладу. Как вы уже знаете, именно её наиболее часто указывают в договоре;
• N – промежутки капитализации относительно сроков выплат;
• M – повторение диапазонов.

При желании можно использовать другой метод, который заключается в просчёте каждого месяца отдельно. Сложно сказать, какой из них удобнее, так как для некоторых будет проще применить формулу, а другим потратить чуть больше времени, но зато не вникать в сложные математические расчёты.

Влияет ли пополнение счёта на эффективную процентную ставку?

Как правило, договор с банком подразумевает возможность в любой момент пополнить/снять вложенную сумму. Если со вторым все понятно: вы просто забираете деньги и, скорее всего, теряете часть накопленных процентов, то с пополнением счёта действует несколько иная система.

Пополняя тело депозита в период действия договора, проценты со следующего месяца, соответственно, будут начисляться с обновлённой суммы. Здесь сложно давать конкретные рекомендации, так как условия по договору в том или ином банке могут слегка отличаться друг от друга. Тем не менее общая схема выплат остаётся примерно одинаковой: вы можете частично снять вложенную сумму, увеличить её или даже забрать полностью.

Чем больше тело вклада, тем больше проценты и сумма, которую вы получите по истечении сотрудничества с банком.

Чаще всего банковские сотрудники не оглашают эффективную ставку при заключении договора

Эффективная процентная ставка и кредитная система

Итак, эффективная процентная ставка – это, в первую очередь, реальная картина вашего вклада, отражающая все его возможности и подводные камни. Когда речь идёт о депозитном счёте, эффективная ставка играет клиенту только на руку, но вот в случае с кредитом все происходит наоборот.
Ставка по кредиту отражает всю сумму, которую вы должны выплатить банку по истечении договора. То есть включает в себя не только ежемесячные проценты, но и сумму обслуживания вашего кредита, комиссий, страховок и прочих расходов.

Как происходит расчёт эффективной ставки по кредиту?

Для начала берётся общая сумма вашего долга, затем к ней прибавляются все сопутствующие расходы за определённый период, и рассчитывается общая сумма ежемесячного платежа, который клиент должен вносить. Как правило, этот метод используют для осведомления потенциальных заёмщиков об условиях кредитования с целью помочь подобрать оптимальный вариант.

Формула расчёта ставки по кредиту

Формула расчёта эффективной кредитной ставки в кредитной системе

Как вы видите на картинке, формула достаточно проста и не требует глубоких математических знаний. Но все же давайте подробнее разберём все пункты, чтобы впоследствии не допускать ошибок.

di — дата истечения срока договора, то есть последней выплаты кредита.
d1 – самая первая дата выплаты.
Pi – сумма, которую клиент внёс во время последнего платежа.

Итак, эффективная процентная ставка по кредиту это система расчёта реальной суммы, которую вы будете должны выплатить банку в итоге. Умение правильно вычислять процентную ставку по кредиту даст возможность заранее распределить свои доходы и не нарушать сроки выплат, что существенно сохранит как ваши деньги, так и нервы.

Не бойтесь требовать от банка предоставления полной информации о предлагаемой кредитной системе, так как это ваше право, прописанное в законодательстве про банковскую деятельность в статье о правах потребителя.

Часто заемщики сталкиваются с тем, что их расходы по выплате долга существенно превышают на деле суммы, обозначенные улыбчивым кредитным специалистом и зазывающими надписями на рекламных баннерах. Чтобы представлять реальные свои расходы по погашению кредита, прежде всего надо выполнить расчет эффективной процентной ставки. Что это и как ее вычислить, расскажем в этой статье.

Эффективная процентная ставка - это...

Effective rate of interest (эффективная процентная ставка) имеет множество определений, однако все они открывают одну и ту же суть с разных сторон. Это:

• Кредитная ставка, включающая в себя все затраты на обслуживание займа, страховые программы, комиссии и проч.
• Сложнопроцентная годовая ставка, являющаяся величиной оценки доходности определенной финансовой операции.
• Реальная стоимость кредита, которая содержит в себе все затраты заемщика за время погашения долга.
• Действительная стоимость кредита, превышающая номинальную ставку.

Чтобы лучше понять суть эффективной ставки, позже мы проведем небольшую параллель с озвученной номинальной.

Что включает в себя ЭПС по картам

Предупреждаем вас, что самая высокая эффективная процентная ставка ожидает вас при оформлении столь популярной сегодня кредитной карты. ЭПС будет содержать в себе:

• Платеж (комиссию) за выпуск "пластика".
• Комиссию за обслуживание карточки.
• Плату за ведение расчетного счета.
• Комиссию за совершения операций по карте.
• Если уместно - комиссию за конвертацию валюты.
• При нарушениях условий кредитного договора - штраф за превышение лимита или несвоевременное внесение платежа.
• И, собственно, погашение суммы долга и выплату процентов по нему по номинальной ставке.

Отсюда можно сделать следующий вывод: не останавливайтесь на банке, предлагающем самую низкую номинальную ставку. Возможно, в другой организации, где этот показатель несколько выше, эффективная ставка будет на несколько процентов ниже. Из-за чего это может произойти? Из-за отсутствия ряда комиссий (например, за ведение р/с, эмиссию кредитной карточки), "добровольно-принудительной" покупки страховых продуктов на меньшую сумму и т. д. Не стесняйтесь попросить кредитного специалиста озвучить именно ЭПС. И только на основе этой величины подбирать банк-займодателя.

Номинальная и эффективная процентная ставка

Номинальная ставка - это фиксированная величина, размер годовой переплаты за кредит, который вы видите на заманчивых рекламных проспектах. Она не включает в себя стоимость страховок, комиссий, плату за обслуживание кредитной карты - все те растраты, которые вам предстоит понести вместе с выплатой процентов по кредиту и погашением займа.

Почему же клиенту сразу же не озвучивается сумма, которая равна эффективной процентной ставке? Во-первых, эту величину весьма трудно вычислить заранее. Например, если клиент просрочит платеж или несколько взносов, эта величина изменится в большую сторону от той, которая будет рассчитана вначале, из-за начисления пени. А во-вторых, банк попросту растеряет клиентов, если озвучит им все их реальные расходы.

То, что кредитный специалист сообщает клиенту только номинальную ставку, не является обманом или "запудриванием мозгов". Наверняка в вашем кредитном договоре завлекшая вас переплата так и названа - номинальная процентная ставка. Увы, но это упущение именно заемщика, что он перед заключением договора не поинтересовался у операциониста хотя бы примерным размером эффективной годовой процентной ставки.

Номинальная и эффективная ставки относительно вкладов

Что касается банковских вкладов, то здесь в корне другая ситуация:

• Номинальная процентная ставка - фиксированная величина вашего годового дохода, выраженная в процентах. Например, 9 % годовых.
• Эффективная процентная ставка - это плавающая величина вашей прибыли, зависящая от некоторых условий, прописанных в договоре. Что касается вкладов, то она выше номинальной ставки. Это прежде всего характерно для вкладов с капитализацией ("сложными" процентами, начислением процентов на проценты), когда к сумме вклада по прошествии какого-либо периода прибавляется сумма начисленных процентов, и за следующий промежуток времени проценты начисляются на эту уже увеличенную денежную величину. Вклад с 9 % годовых с капитализацией принесет гораздо больше прибыли, чем аналогичный без капитализации. Важно учитывать и ее периодичность: если она происходит каждый месяц, то это гораздо выгодней случая, когда "сложные" проценты начисляются раз в полгода.

А теперь перейдем к "больному" вопросу - кредитам.

Особенности эффективной процентной ставки

ЭПС обязательно должна быть прописана в кредитном договоре - это предписывает Центробанк России. Но многие сталкиваются с тем, что их реальные затраты гораздо выше и этой величины! Происходит это из-за того, что банк рассчитывает ЭПС по формуле, предложенной ЦБ РФ, которая имеет ряд недостатков - в расчет не берутся страховые взносы и некоторые другие ваши убытки.

Предупредим вас, что эффективная процентная ставка - это величина, которая всегда будет выше номинальной даже у идеалистической модели банка, не предлагающего страховые комплекты, комиссии. Причина в том, что тут, так же как и для вкладов, действуют "сложные" проценты и аннуитетные платежи: одна часть уходит на погашение тела долга, а другая - на проценты по нему. То есть за каждый месяц проценты начисляются не только на ту сумму, что вы заняли у банка, но и на величину еще неоплаченных вами процентов.

Вычисление эффективной процентной ставки

Самый верный способ максимально точно представить свои затраты по выплате кредита - это определить эффективную процентную ставку самим, воспользовавшись готовой формулой. Первым делом вам нужно уточнить, с каким промежутком начисляются проценты по вашему займу - каждый месяц, квартал, год, непрерывно и т. д. Ну и, конечно, необходимо знать номинальную ставку по кредиту.

Э = (1 + Н/П) П - 1, где:

• Э - это эффективная процентная ставка:
• Н - номинальная ставка;
• П - количество периодов начисления процентов за один год.

Если же проценты начисляются непрерывно, то подойдет другая формула:

Э = е Н - 1, где:

• Э - эффективная процентная ставка;
• Н - номинальная ставка;
• е - постоянное число, равное 2,718.

Увы, приведенные формулы не предусматривают включения в результат трат, которые вы точно понесете в связи с покупкой страховых продуктов, оформлением справок.

Второй способ вычисления ЭПС

Еще одна формула, по которой можно вычислить эффективную процентную ставку, следующая:

0 = (геометрическая прогрессия) ПВ / (1 + ЭПС) (Д п - Д 1) / 365 , где:

• ПВ - размер последней выплаты;
• Д п - дата последнего платежа по кредиту;
• Д 1 - дата первого платежа по кредиту.

Расчеты осложняются тем, что для нахождения ЭПС вам нужно решить это уравнение.

Еще один вариант формулы:

К = П 1 + ((геометрическая прогрессия) П n / (1 + ЭПС) В n , где:

• К - сумма кредита;
• П 1 - первый платеж по займу (необходимо учесть все комиссии, страховые выплаты);
• П n - последний платеж по кредиту (также обязательно нужно включить не только величину погашения тела долга и процентов по нему, но и все побочные платежи);
• ЭПС - эффективная процентная ставка;
• В n - время совершения самого последнего платежа.
• n - месяц выплаты по счету (12-й, 15-й, 36-й и т.д.)

Альтернативные методы подсчета

Формула эффективной процентной ставки - это не единственный путь, который укажет вам ваши реальные траты:

1. Воспользуйтесь онлайн-калькуляторами, в избытке представленными в Сети, - от простых до весьма обстоятельных, учитывающих все платежи.

2. Обратитесь к программе Exel:

• Функция EFFECT() поможет вам произвести расчеты по первой формуле.
• SERIESSUM пригодится для расчетов по второй формуле.

Таким образом можно отметить, что, даже зная номинальную ставку, размер всех комиссий и стоимость страховых продуктов, мы самостоятельно (как, впрочем, и кредитный специалист) сможем высчитать только приблизительную величину ЭПС. Самостоятельные расчеты осложняются "сложными" процентами, платежами-аннуитетами, начислением пени в случае просрочки платежа, чего нельзя предугадать заранее.

По указанию ЦБ РФ банки рассчитывают эффективную процентную ставку по кредитам и информируют кредитополучателей о ее размере. Однако понятие эффективной процентной ставки используется не только для расчета стоимости кредитного продукта. Ставкой оперируют инвесторы, чтобы понять реальную отдачу от вложенных денег. При формировании отчетности по МСФО финансовые договора принимаются к учету и амортизируются также по эффективной процентной ставке. Разберем понятие эффективной процентной ставки и приведем пример ее расчета.

Понятие эффективной процентной ставки

Финансовый инструмент - это любой договор, в результате которого одновременно возникают финансовый актив у одной компании и финансовое обязательство или долевой инструмент у другой.

Финансовый договор – это соглашение между сторонами, влекущее за собой возмездную передачу денежных средств одной стороной другой. За пользование денежными средствами сторона кредитополучатель выплачивает стороне кредитору вознаграждение в виде процентов от полученной суммы. Процентное вознаграждение называется номинальной процентной ставкой.

Но помимо процентов за использование денежных средств финансовые договора сопровождаются и другими видами обязательных платежей, такими как:

1. Обязательное страхование договора. Несмотря на то, что страховые платежи уплачиваются не кредитору, а страховой компании, данные платежи увеличивают расходы кредитополучателя (см. также 15 опасных условий кредитного договора ).
2. Сложный процент, рассчитываемый банком по кредиту.
3. Капитализация процентов по депозитам и соответствующие сложные проценты.
4. Комиссии за открытие кредитной линии (для кредитных линий, расчет и бухгалтерское сопровождение которых включено в стоимость каждого транша в сумме, рассчитанной для конкретного транша).
5. Комиссии за выдачу кредита (обязательство предоставить кредит, рассмотрение заявки по кредиту, оформление кредитного договора и другие схожие платежи).

Все эти дополнительные платежи не возникли бы без необходимости заключить финансовый договор, поэтому рационально учитывать их при оценке процентной ставки финансового инструмента. Для полноценного учета на практике введено понятие эффективная процентная ставка рефинансирования .

Под эффективной процентной ставкой понимается совокупность всех платежей (поступлений) по финансовому договору, приведенная к процентной ставке за период. То есть предполагается, что все обязательные платежи за пользование финансовым инструментом, будь то кредит или депозит, учитываются в расчете процентной ставки по финансовому инструменту. Периодом расчета может выступать как год, так и месяц.

Формула эффективной процентной ставки

В методических рекомендациях ЦБ РФ «О порядке расчета амортизированной стоимости финансовых активов и финансовых обязательств с применением метода эффективной ставки процента» есть формула расчета эффективной ставки процента (далее ЭСП) при первоначальном признании финансового инструмента.

где ДПi - сумма i-го денежного потока;

ЭСП - эффективная ставка процента, в год;

di - дата i-го денежного потока;

d0 - дата начального денежного потока;

n - количество денежных потоков.

Предполагается, что первый денежный поток – передача суммы кредита кредитополучателю будет совершен в «нулевом» периоде. Для расчета он будет принят отрицательным и не будет дисконтирован.

Последующие денежные потоки – возврат кредита и процентов приняты положительными и будут дисконтироваться .

Смысл данной формулы состоит в том, чтобы определить ставку, по которой сумма всех положительных продисконтированных платежей будет равна сумме первого денежного потока. Тогда равенство, указанное в формуле, будет выполняться.

Однако в методических указаниях Центробанка не определено, какие именно платежи должны быть включены в расчет ЭСП, поэтому многие кредитные организации вольно трактуют компоненты расчета и не включают в расчет ЭСП некоторые платежи. Часто в расчет не включены страховые платежи, хотя они занимают наибольшую долю среди дополнительных расходов по кредиту.

Поэтому выгодно иметь собственный инструмент расчета эффективной процентной ставки. Это предоставит вам возможность проверять расчеты банка, сравнивать различные банковские продукты, оценивать реальную доходность от инвестирования денег.

Расчет эффективной процентной ставки в MS Excel (с примером)

Расчет эффективной процентной ставки проще всего проводить с использованием одного из табличных редакторов. В статье рассмотрим использование для этих целей встроенных возможностей MS Excel.

Пример 1. Расчет эффективной процентной ставки по ипотечному кредиту

Шаг 1 . Подставим все платежи и поступления по депозитам в таблицы 4 и 5.

Таблица 4 . Платежи и поступления по депозитам в банке «А»

Таблица 5 . Платежи и поступления по депозитам в банке «Б»

Шаг 2 . Рассчитаем эффективную процентную ставку для предложения банка «А». Она будет равна 8,05% годовых

Рисунок 2 . Расчет эффективной процентной ставки для банка «А» (кликните, чтобы увеличить)

И аналогично для предложения банка «Б»

Рисунок 3 . Расчет эффективной процентной ставки для предложения банка «Б» (кликните, чтобы увеличить)

Она будет равна 7,08% годовых.

Шаг 3 . Сравним полученные ЭСП и выберем наиболее выгодную. В нашем примере выгоднее размещать депозит в банке «А», несмотря на расхожее мнение, что депозиты с капитализацией процентов приносят бо льшую прибыль инвестору. Для нашего примера критическим фактором стал короткий срок размещения депозита. Если бы срок был больше – от трех лет и более, размещать средства выгоднее было бы в банке «Б».

Выводы о использовании эффективной процентной ставки и несколько советов финансовому директору

Как видно из статьи, эффективная процентная ставка может использоваться повсеместно для расчета и сравнения финансовых инструментов:

• кредитов;
• депозитов;
• инвестиций в бизнес;
• при покупке облигаций, ваучеров, фьючерсов и других финансовых инструментов;
• при формировании отчетности по МСФО.

Выгодно иметь под рукой стандартизированную модель расчета эффективной процентной ставки, чтобы при необходимости быстро просчитать несколько вариантов и выбрать наилучший, не полагаясь на расчеты кредитных организаций.

И напоследок список платежей, которые могут быть заявлены кредитными организациями в числе обязательных, но согласно законодательству не являются легальными:

1. Вознаграждение за выдачу кредита.
2. Единовременный платеж за обслуживание ссудного счета.
3. Комиссия за рассмотрение кредитной заявки.
4. Вознаграждение за размещение средств на ссудном счете.
5. Комиссия за подключение к программе страхования.

После того, как Центробанк РФ обязал коммерческие банки раскрывать эффективную процентную ставку (ЭПС) по кредитам, это словосочетание прочно вошло в лексикон наших соотечественников. Меж тем, мало кто из них знает, что это такое. Данная статья призвана заполнить такой досадный пробел в знаниях, а также раскрыть один из приемов вычисления ЭПС.

Собственно, смысл эффективной процентной ставки достаточно прост — она призвана отражать реальную стоимость кредита с точки зрения заемщика, то есть учитывать все его побочные выплаты, непосредственно связанные с кредитом (помимо платежей по самому кредиту). Например, такими побочными выплатами являются печально известные «скрытые» банковские комиссии — комиссии за открытие и ведение счета, за прием в кассу наличных денег и т.п. Другой пример: если вы берете автокредит, то банк обязует вас страховать приобретаемый автомобиль на протяжении всего срока кредитования. При этом страховка будет являться для вас обязательной побочной выплатой (правда, уже не самому банку, а страховой компании).

Что интересно, Центробанк, обязав коммерческие банки раскрывать эффективную процентную ставку по кредитам и даже предоставив формулу для ее расчета, не указал, какие конкретно платежи должны в этот расчет включаться. В результате разные банки придерживаются разных точек зрения на этот вопрос: многие, например, не включают в расчет как раз страховые выплаты.

Тем не менее, наиболее правильным и справедливым выглядит подход, согласно которому в расчет эффективной процентной ставки включаются все платежи, которые являются обязательными для получения данного кредита. В частности, все обязательные страховые выплаты.

Разобравшись с этим вопросом, мы теперь можем дать строгое определение эффективной процентной ставки.

Эффективная процентная ставка — это сложная процентная ставка по кредиту, рассчитанная в предположении, что все платежи, необходимые для получения данного кредита, идут на его погашение.

То есть, если в результате получения кредита размером S 0 заемщик вынужден совершать платежи R 0 , R 1 , R 2 , ..., R n в моменты времени t 0 = 0, t 1 , t 2 , ..., t n соответственно (сюда входят как платежи по самому кредиту, так и побочные комиссии, страховые выплаты и т.п.), то эффективная процентная ставка i находится из соотношения

Если все платежи заемщика, за исключением, возможно, самого первого, одинаковы (R 1 = R 2 = ... = R n = R ), то в соответствии с формулой вычисления суммы конечной геометрической прогрессии соотношение для определения эффективной процентной ставки будет таким:

К сожалению, найти точное значение эффективной процентной ставки даже в таком сравнительно простом случае невозможно, поэтому приходится его подбирать (лучше всего — при помощи специального численного метода). Как именно — об этом пойдет речь далее.

Пример.

Для кредита со следующими условиями:

• срок кредитования — 3 года;
• процентная ставка (будем обозначать ее j ) — 18% годовых;
• схема погашения кредита — ежемесячными равными (аннуитетными) платежами;
• комиссия за организацию кредита — 1% от его суммы;
• ежемесячная комиссия за ведение ссудного счета — 0,1% от суммы кредита

эффективная процентная ставка будет составлять 22,8%. Для проверки найдем значения всех переменных, присутствующих в формуле (3):

Подставляя эти значения в формулу (3), после сокращения на S 0 легко убеждаемся в справедливости равенства (если, конечно, пренебречь погрешностью округлений):

.

Общий метод вычисления ЭПС

Итак, мы уже отметили, что размер эффективной процентной ставки даже для относительно простых ссудных операций нельзя найти с помощью какой-либо формулы. На помощь здесь приходят так называемые численные методы , которые позволяют за конечное число шагов вычислить приближенное значение искомой величины с необходимой точностью.

Общий метод приближенного вычисления эффективной процентной ставки, который мы рассмотрим далее, может применяться для любой ссуды, платежи по которой совершаются через одинаковые промежутки времени. Его основу составляет численный метод Ньютона , суть которого, в общих чертах, заключается в следующем.

Допустим, нам нужно найти решение уравнения f (x ) = 0, где f (x ) — некоторая дифференцируемая функция. Тогда при определенных условиях последовательность чисел {x (k ) }, где самое первое значение x (0) выбирается самостоятельно, а каждое последующее находится по формуле

сходится к точному решению этого уравнения. Нам сейчас не важно, что это за условия, при желании информацию об ограничениях метода Ньютона можно легко отыскать.

Посмотрим теперь, как использовать этот метод для вычисления эффективной процентной ставки.

Введем новую величину v τ = (1 + i ) -τ , которая называется множителем дисконтирования для периода времени τ. С ее помощью формулу (2), представляющую собой общее соотношение для нахождения эффективной процентной ставки, можно переписать следующим образом:

.

Нахождение корня этого уравнения эквивалентно нахождению корня функции

.

Эта функция имеет только один положительный корень (нас интересуют только положительные корни), причем, он лежит в интервале (0, 1). Этот корень можно легко найти с помощью метода Ньютона, предварительно вычислив производную функции f (x ):

.

x (0) = 1, с помощью формулы (4) мы получим последовательность чисел x (k ) , сходящихся к точному значению v τ . Приближенное значение искомой эффективной процентной ставки находится из следующего соотношения:

(предполагается, что мы закончили вычисления на шаге с номером n ).

Пример

Найдем эффективную процентную ставку для ссуды размером S 0 = 1000 фунтов стерлингов Соединенного Королевства, выданной на год под простую процентную ставку j = 20%. Для погашения ссуды заемщиком были внесены следующие частичные платежи:

• R 1 = 600 фунтов стерлингов через 3 месяца (t 1 = ¼) после начала сделки;
• R 2 = 310 фунтов стерлингов через 9 месяцев (t 2 = ¾) после начала сделки;
• R 3 = 194,25 фунтов стерлингов через год (t 3 = 1) после начала сделки.

В качестве периода времени τ выберем один квартал (τ = ¼). В соответствии с описанным выше методом, введем вспомогательную функцию

f (x ) = 600 x + 310 x 3 + 194,25 x 4 - 1000

и найдем ее производную:

f (x ) = 600 + 930 x 2 + 777 x 3 .

Теперь, выбрав в качестве начального приближения x (0) = 1, с помощью формулы (4) построим последовательность приближенных значений дисконтирующего множителя v τ и эффективной процентной ставки i :

k	x (k )	i
0	1	i ≈ 0
1	0,95481144343303	i ≈ 0,20317704736717
2	0,95284386714354	i ≈ 0,21314588059674
3	0,95284030323558	i ≈ 0,2131640308135
4	0,95284030322392	i ≈ 0,21316403087292
5	0,95284030322392	i ≈ 0,21316403087292

Уже на пятом шаге расчет привел к тому же результату, что и на предыдущем, причем с точностью, которая вам вряд ли когда-нибудь сможет понадобиться. Полученный результат более чем на 1,3% превышает заявленную (номинальную) процентную ставку по ссуде, хотя здесь не было ни скрытых комиссий, ни каких-либо других дополнительных выплат.

Замечание. Лучший способ быстро произвести расчет эффективной процентной ставки (не имея под рукой специального финансового калькулятора или компьютерной программы) — это воспользоваться каким-нибудь табличным редактором. Например, в онлайновом табличном редакторе Google весь расчет выглядит примерно следующим образом:

Рис. Вычисление эффективной процентной ставки с помощью табличного редактора

Обратите внимание на следующие моменты:

1. В табличном редакторе не нужно вручную вычислять коэффициенты при степенях x для производной — они могут быть найдены по формуле, как показано на первом рисунке.
2. С помощью функции SERIESSUM (второй рисунок) можно легко вычислять значения как самой функции f (x ), так и ее производной.

Пример

Разберем теперь более сложный, но более актуальный пример.

Кредит размером 24 тысячи евро, выданный на два года под 12% годовых, погашается ежемесячными платежами в соответствии с дифференцированной схемой . Комиссия за организацию кредита составляет 1% от его суммы. Кроме того, каждый месяц с заемщика взимается комиссия за ведение ссудного счета размером 0,1% от суммы кредита. Нам нужно найти эффективную процентную ставку по данному кредиту.

Прежде всего, построим график погашения кредита (без учета структуры платежей). Платежи в счет погашения кредита образуют арифметическую прогрессию с начальным членом

A 1 = ( + 0,12 × ) × 24 000 = 1240 евро

и разностью

- (0,12 × × 24 000) × = - 10 евро.

Кроме того, при получении кредита заемщик был вынужден заплатить 0,01 × 24 000 = 240 евро, а каждый месяц с него взимается комиссия размером 0,001 × 24 000 = 24 евро. Значит, график платежей по кредиту имеет следующий вид:

Рис. График платежей по кредиту

Значения столбца «с комиссией, Rk », за исключением самого первого (с индексом 0), совпадают с коэффициентами при степенях x у функции f (x ), которую мы будем использовать в расчетах. Для получения первого коэффициента (при нулевой степени x ) нужно из начального платежа R 0 = 240 вычесть размер кредита (формула в левом верхнем углу):

Рис. Нахождение коэффициентов функции f(x)

Коэффициенты при степенях x у производной f "(x ) находятся по уже известному нам принципу:

Рис. Нахождение коэффициентов производной f"(x)

Теперь, наконец, можно применить метод Ньютона для нахождения месячного множителя дисконтирования (формула в левом верхнем углу):

Рис. Нахождение месячного множителя дисконтирования

Одновременно с вычислением месячного множителя дисконтирования определяем саму эффективную процентную ставку i :

Рис. Нахождение эффективной процентной ставки

Как и в примере из предыдущего параграфа, метод Ньютона привел нас к окончательному ответу всего лишь за пять вычислений: эффективная процентная ставка по рассматриваемому кредиту приближенно равна 16,38%, на 4,38% больше, чем номинальная ставка.

Вычисление ЭПС для аннуитета

Метод, который мы рассмотрели выше, при правильном его применении, достаточно удобен. Но в определенных случаях, а именно, для аннуитетной схемы погашения кредита, эффективную процентную ставку можно найти еще быстрее и проще. Собственно, основное преимущество метода, который мы рассмотрим далее, заключается в его большей компактности.

Перепишем формулу (3) — соотношение для определения эффективной процентной ставки, которое справедливо при погашении кредита аннуитетными платежами — с помощью уже знакомого нам множителя дисконтирования v τ = (1 + i ) -τ :

Для нахождения корня уравнения (6) можно использовать уже знакомый нам метод Ньютона.Для этого введем функцию

и найдем ее производную:

.

Теперь, если в качестве начального приближения выбрать

то с помощью формулы (4) можно получить последовательность чисел {x (k ) }, приближающихся к точному значению множителя дисконтирования v τ .

Пример

Найдем эффективную процентную ставку для кредита из самого первого примера. Условия, напомню, были такие:

• срок кредитования — 3 года;
• процентная ставка j — 18% годовых;
• схема погашения кредита — ежемесячными равными (аннуитетными) платежами;
• комиссия за организацию кредита — 1% от его суммы;
• ежемесячная комиссия за ведение ссудного счета — 0,1% от суммы кредита.

Вычислять эффективную процентную ставку по этому кредиту, по-прежнему, будем с помощью какого-нибудь удобного табличного редактора. Вот так приблизительно будут выглядеть начальные условия (нет необходимости вручную вычислять размеры платежей — можно использовать нужные формулы непосредственно в ячейках таблицы):

Рис. Внесение начальных условий

Следующий шаг — это вычисление коэффициентов функции f (x ):

Рис. Вычисление коэффициентов функции f (x )

Первый коэффициент по совместительству является начальным приближением x (0) . Переносим его в соответствующую ячейку и по методу Ньютона вычисляем несколько приближений месячного множителя дисконтирования (обратите внимание на формулу в левом верхнем углу):

Рис. Вычисление месячного множителя дисконтирования

Одновременно с этим вычисляем приближенные значения эффективной процентной ставки i :

Рис. Вычисление эффективной процентной ставки

Как видите, после восьми вычислений мы еще раз подтвердили, что эффективная процентная ставка по рассматриваемому кредиту составляет около 22,8%, на 4,8% больше, чем номинальная.

Замечание. Один раз заполнив формочку, подобную приведенной на рисунках, вы впоследствии сможете моментально определять эффективную процентную ставку по любому кредиту, погашаемому в соответствии с аннуитетной схемой, только лишь меняя начальные условия.

В заключение хочется сделать еще одно важное общее замечание. Рассмотренный нами метод гарантированно сойдется (то есть приведет к искомым значениям множителя дисконтирования и эффективной процентной ставки), если в качестве начального значения выбрать величину (7). Если же взять какое-нибудь другое начальное приближение, то метод может сойтись ко второму корню функции f (x ) — единице (соответствующее значение эффективной процентной ставки равно нулю). Например, в рассмотренном нами примере так произошло бы, возьми мы в качестве начального приближения любое число больше 0,992.

И еще одно общее замечание относительно выбора численного метода. Существует великое множество численных методов, многие из которых вполне можно было бы применить для решения наших задач. Метод Ньютона был выбран из-за его, на мой взгляд, оптимального соотношения между сложностью применения и скоростью сходимости (вы ведь помните, мы ни в одном из примеров не делали больше восьми вычислений). Существуют более быстрые, но более сложные для понимания методы. Существуют более простые методы, с меньшим количеством ограничений и гарантированной сходимостью, но требующие большого количества вычислений. Например, если бы мы в последнем примере использовали широко известный метод простой итерации , то для достижения требуемой точности нам пришлось бы сделать около сотни вычислений. Понятно, что эти вычисления делает программа, но тем не менее.

В некоторых случаях при выдаче ссуды на долгосрочный период кредиторы могут поставить условие, чтобы проценты по ссуде выплачивались не ежегодно, а чаще, например каждые полгода, каждую четверть года или каждый месяц. Процентные ставки, по которым производятся более частые начисления процентов, обычно определяются на основе годовых процентных ставок. Если каждые полгода начисляется 10 %, годовая процентная ставка будет 20 % в год.

Годовую процентную ставку называют номинальной (обозначается i). Эффект от более частого начисления процентов заключается в том, что подлинная эффективная процентная ставка в итоге за год выше, чем номинальная процентная ставка.

Формула для расчета эффективной процентной ставки при помощи номинальной процентной ставки выглядит следующим образом:

i э = (1 + i / с) c – 1, (12)

где i э – эффективная процентная ставка;

с – количество раз начисления процентов в течение одного процентного периода.

Например , определить эффективную годовую процентную ставку при условии, что номинальная ставка равна 10 % в год и начисление процентов ведется раз в месяц:

i э = [(1 + 0,10 / 12) 12 – 1] х· 100 % = 10,47 %.

Проценты могут начисляться 2, 4, 12 раз в год. Как предел они могут начисляться бесконечное число раз в год, т. е. непрерывно. В этих условиях процентная ставка короткого отрезка времени стремится к нулю.

Когда проценты начисляются непрерывно эффективная годовая процентная ставка рассчитывается по формуле:

i э = е i – 1, (13)

где е – основание натурального логарифма, е = 2,7182.

Поскольку эффективная годовая процентная ставка представляет подлинные проценты, эта ставка должна использоваться для сравнения преимуществ разных процентных ставок при использовании кредита в инвестиционных проектах.

В табл. 8.1 приведены сравнительные эффективные годовые процентные ставки, соответствующие номинальной годовой процентной ставке 70 %.

Таблица 8.1 Расчет величины эффективной годовой процентной ставки

Частота начисления процентов для всех вариантов принимается:

ежегодно;

раз в полгода;

поквартально;

ежемесячно;

еженедельно;

ежедневно;

непрерывно.

По окончании расчетов сделать соответствующие выводы.

9. Сравнение вариантов кредитования

В этой задаче необходимо сопоставить два варианта кредитования:

I вариант – обеспечивает равномерный возврат кредита в течение 12 месяцев.

II вариант – равномерный возврат кредита с начислением процентов на оставшуюся сумму.

Оба варианта рассчитываются на величину, указанную в графе 2 табл. П.3, ставка процента принимается на уровне 2–4 % в месяц (графа 5 табл. П.3), продолжительность кредитования – 12 месяцев.

Исходные данные для примера расчета вариантов кредитования

Величина кредита 170,33 тыс. руб.;

ставка процента в месяц 3,00 %;

продолжительность кредитования 12 месяцев.

В графе 1 таблиц 9.1 и 9.2 указываются номера месяцев по порядку. В графе 2 таблиц 9.1 и 9.2 «Остаток на начало месяца» указывается сумма кредита, которую необходимо вернуть. Она рассчитывается как разность значений, указанных в графе 4 и графе 6 (или графой 2 (значение за прошлый месяц) и графой 5 таблиц 9.1 и 9.2).

Величина процентов, выплачиваемых ежемесячно, указывается в графе 3 таблиц 9.1 и 9.2 и определяется от величины остатка кредита на начало месяца (графа 2). Остаток общей задолженности представляет собой величину кредита вместе с процентами и определяется суммой граф 2 и 3 таблиц 9.1 и 9.2.

В первом варианте расчет величины платы за кредит вместе с процентами, (графа 6 табл. 10) производится по формуле аннуитета (А):

где К – величина кредита, млн. руб.;

t – количество месяцев кредитования;

i – процентная ставка в месяц.

Аннуите́т - общий термин, описывающий график погашения кредита(выплаты вознаграждения или уплаты части основного долга и процентов по нему), когда выплаты устанавливаются периодически равными суммами через равные промежутки времени.

Сумма аннуитетного платежа включает в себя основной долг и вознаграждение.

В широком смысле, аннуитетом называется как сам кредит, так и сумма периодического платежа, вид графика погашения кредита.

Суммы возврата кредита (графа 5 табл. 9.1) определяются как разность между величиной ежемесячной выплаты (возврат кредита + проценты, графа 6 табл. 9.1) и величиной процентов, которые необходимо выплатить в этом месяце.

Таблица 9.1 Равномерный возврат кредита в течение 12 месяцев

Во втором варианте расчет значений по графам 2, 3, 4 табл. 9.2 аналогичен указанному выше.

Таблица 9.2 Равномерный возврат кредита с начислением процентов на оставшуюся сумму

Так как во втором варианте осуществляется равномерная плата за кредит, то значения этой величины (колонка 5 табл. 9.2) во всех месяцах одинаковы и определяются делением величины взятого кредита на 12 месяцев. Таким образом, остаток на начало месяца будет равномерно уменьшаться на величину платы за кредит.

Сумма возврата кредита и процентов (графа 6 табл. 9.2) определяется сложением значений граф 3 и 5 табл. 9.2.

При расчетах в двух вариантах необходимо подвести итоги по графам 3, 5 и 6 табл. 9.2. В конце расчетов сделать выводы о том, преимуществах и недостатках различных вариантов кредитования.