Отличие простых процентов от сложных.

Дарья Никитина

Время на чтение: 11 минут

А А

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

В этой статье:

Простой расчет сложных процентов

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль — 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Формула сложного процента:

SUM = X * (1 + %) n

где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:

SUM = 50000 * (1 + 10/100) 5 = 80 525, 5 руб.

Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.

Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

SUM = 10000 * (1+10/100/12) 12 = 11047,13 руб.

Прибыль составила:

ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб

Доходность составила (в процентах годовых):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

Формула сложного процента для банковских вкладов

На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:

% = p * d / y

где
p — процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105 ;
d — период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y — количество дней в календарном году (365 или 366).

То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.

Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:

SUM = X * (1 + p*d/y) n

При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.

Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Имеющие сбережения заинтересованы в их сохранности и получении дополнительного дохода. Поэтому, выбрав надежный банк, вкладчики изучают условия и подсчитывают возможную прибыль. В большинстве случаев на вклады банки предлагают начисление сложных процентов.

Что это такое, чем выгодна такая схема, и какова формула сложных процентов по вкладам? Об этом расскажем ниже.

Что такое сложный процент?

Этим термином называют эффект, при котором к основной сумме вклада прибавляются проценты прибыли. Например, на вклад в сумме 100 000 рублей банк ежемесячно начисляет проценты.

Допустим, что процентная ставка составляет 10% годовых, и за первый месяц начислено 833 рубля. В следующем месяце на вкладе образуется сумма в размере 10 833 рубля, и на нее банк будет начислять проценты.

Таким образом, за второй месяц вкладчик получит доход уже 840 рублей, и так далее. Поэтому, размещая в банке депозит с капитализацией, можно получить больше прибыли, чем по вкладу с возможным снятием процентов.

Несколько статей по теме:

Приведем простой пример расчета сложных процентов для вклада сроком на три месяца.

Предположим, что на счет была внесена сумма 100 000 рублей под 12% годовых. Если забыть о сложном проценте, то предполагаемая прибыль определяется в 2958 рублей.

Но мы помним о капитализации и проводим расчеты, учитывая ежемесячное начисление процентов. Для наглядности представим расчет в таблице:

Таким образом, вкладчик получит 2988 рублей. Это на 40 рублей больше, чем по схеме простого процента.

Тем, кто знаком с таблицами excel не составит труда сделать подобные расчеты для своих банковских вкладов.

Можно воспользоваться и математической формулой расчета:

S – общая сумма вклада с процентами (то, что получит вкладчик по окончании срока договора);

• Р – базовая сумма, первоначальный размер депозита;
• n –количество периодов начисления процентов (месяцев, лет, кварталов, дней);
• I – годовая процентная ставка.

Например, заключая договор с банком на 12 месяцев под ставку 12% годовых, владелец вклада с капитализацией получит:

S = 100 000 * (1+12/100/12)12 = 112829 руб.

Самые выгодные условия по вкладу

Из предыдущего раздела понятно, что схема с применением сложного процента дает больше прибыли, чем простые варианты. Но вкладчикам стоит знать о том, как банки могут манипулировать цифрами.

Самая распространенная уловка – предложение открыть вклад с начислением дохода в конце срока и увеличением ставки при пролонгации. На первый взгляд, подвоха нет: банк начислит положенный доход, увеличит тариф на следующий сезон.

Но на цифрах это выглядит менее привлекательно: расчеты производятся по формуле простого процента. На депозит в размере 100 000 рублей по ставке 12% годовых банк начислит доход 12 000 рублей. Условия договора могут содержать и «подводные камни».

Например, при продлении вклада еще на год, тариф составит 12,5%. А при расторжении договора банк оставляет за собой право начислить доход по ставке 10% годовых.

Еще один распространенный в банках вариант «экономии»– по вкладу с капитализацией начислять доход ежеквартально. Заключая подобный договор, вкладчик может не понимать, в чем его потери. А расчет банка прост: проценты по депозиту начисляются в конце каждого квартала. Соответственно, и капитализация происходит четыре раза в год, а не двенадцать, как при ежемесячном начислении.

Вот пример такого подхода:

Таблица 1. Ежемесячное начисление

Таблица 2. Ежеквартальное начисление

Как видно, разница составляет 132 рубля в пользу банка.

Вкладчикам, которые хотят открыть короткий депозит, например, на несколько дней новогодних каникул, нужно знать о том, что день выдачи средств не считается в общем сроке их использования.

Простыми словами: открывая депозит 30 декабря и забирая деньги 12 января, клиент получит доход за 13 дней, а не за 14: банк не начислит проценты за 12 января.

Как правило, самые выгодные для клиента варианты – это депозиты с капитализацией, ежемесячным начислением и с пополнением. Но банки ставят по таким вкладам не самые высокие тарифы, манипулируя цифрами и ориентируя вкладчиков на длительное размещение средств.

Могут быть и другие нюансы, о которых стоит знать заранее. Поэтому, выбирая банк, нужно ориентироваться не только на величину процентов по вкладам, но и на способ начисления, условия выплаты и дополнительные возможности для вкладчика.

Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.

Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.

Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.

Формула сложного процента (расчет в годах)

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.

Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

• S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
• Р – первоначальная величина вклада;
• n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
• I – годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле

• К – количество дней в текущем году,
• J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).

Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.

На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%

Формула сложного процента (расчет в месяцах)

Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:

где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.

Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.

Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:

через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.

а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.

руб.

Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.

Формула сложного процента для банковских вкладов

Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.

Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:

Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:

На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.

Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:

Теперь подставляем данные в основную формулу:

руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;

руб. – за 10 лет*.

*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.

Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.

И расчет параметров этой сделки.

Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи — это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей — это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.

В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.

Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие "процентов" и и .

Проценты — основные понятия

Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).

Ответ: больше на

Процентная ставка

Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.

Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.

Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.

Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).

Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах.

При схеме "простых процентов " исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .

При схеме "сложных процентов " (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.

Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде .

При схеме "простых процентов" (простой дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.

При схеме "сложных процентов" (для целых ) (сложный дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.

Простая и сложная процентные ставки

"Прямые" формулы

	Простые проценты	Сложные проценты
— процентная ставка			наращение
— процентная ставка			дисконтирование (банковский учет)

"Обратные" формулы

Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов

Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,

— при схеме простых процентов

1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.

Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель

Важным выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.

Очень часто в экономической литературе пользуются термином "процентная ставка", хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.

Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином "процентная ставка"

Различают номинальные и реальные процентные ставки

Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).

Способы начисления процентов:

Простая процентная ставка

График роста по простым процентам

Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.

• I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
• S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.

Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления

• 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
• 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .

• Точное число дней ссуды — определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
• Приближенное число дней ссуды — определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.

• Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
• Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
• Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.

Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.

Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

• S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.

Переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом.

При расчете наращения и дисконтирования денежных средств могут использоваться модели простых и сложных процентов.

Простой процент представляет собой сумму, которая начисляется от исходной величины стоимости вложения в конце одного периода, определяемого условиями вложения средств (месяц, квартал, год). Расчет суммы простого процента S в процессе наращения вложений производят по формуле

S = PV * k * t

По окончании каждого периода инвестиция увеличивается на величину kt. Поэтому будущая стоимость инвестиции FV с учетом начисленных процентов определяется по формуле FV – PV + S = PV (1 + kt)

Множитель (1 + kt) представляет собой коэффициент наращения простых процентов.

При расчете суммы простого процента в процессе дисконтирования, или суммы дисконта D, используется формула D = FV – FV * 1 / (1 + kt)

Сложным процентом называется сумма, которая образуется в результате вложения средств при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается после каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в последующем доход исчисляется с общей суммы, включающей также начисленные и невыплаченные проценты.

Начисление сложных процентов с целью нахождения величины будущей стоимости в инвестиционном анализе называют компаундингом.

Расчет суммы вложения в процессе его наращения по сложным процентам производится по формуле FV = PV (1 + k) t

А в процессе дисконтирования по формуле PV = FV / (1 + k) t = FV * 1 / (1 + k) t

Сумма сложного процента определяется как разность между окончательной и первоначальной суммами вклада.

В финансово-экономических расчетах коэффициент (1 + k) t называют коэффициентом, или множителем наращения, а также ставкой процента, нормой доходности, нормой прибыли, а коэффициент 1 / (1 + k) t – коэффициентом дисконтирования, дисконтной ставкой, дисконтом, учетной ставкой.

Очевидно, что оба коэффициента связаны между собой, поэтому, зная один показатель, можно определить другой.

Для простоты вычислений разработаны специальные таблицы, с помощью которых при заданных параметрах указанных коэффициентов и периодов инвестирования можно определить текущую и будущую стоимость денежных средств.

24. Функции денежной единицы: состав и основное содержание.

http://dom-khv.ucoz.ru/index/formuly_slozhnykh_procentov/0-111 (+ 25-30)

В финансово-экономической практике совокупное влияние и учет указанных элементов(сумма, риск, время, ставка дохода) оценивается на основе 6 функций денежной единицы. Зачастую они оцениваются в разработке и использовании во всем мире финансовых таблиц. В состав функции денежной единицы (сложного %) входят:

Накопленная сумма денежных единиц

Накопление (рост) денежной единицы за время

Фактор фондовозмещения

Текущая стоимость единицы (реверсия – перепродажа)

Текущая стоимость аннуитета

Взнос на амортизацию денежной единицы.

#Теория изменения стоимости денег исходит из предположения, что деньги , являясь специфическим товаром, со временем меняют свою стоимость и, как правило, обесцениваются. Изменение стоимости денег происходит под влиянием ряда факторов, важнейшими из которых можно назвать инфляцию и способность денег приносить доход при условии их разумного инвестирования в альтернативные проекты. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Накопление – это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.

Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

Аннуитетные платежи (PMT) – это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени. Выделяют Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.

Текущая стоимость (PV) (англ. Present value) - исходная сумма долга или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.

Будущая стоимость (FV) (англ. Future value) - сумма долга с начисленными процентами в конце срока.

Ставка дохода или процентная ставка (i) (англ. Rate of interest) - является относительным показателем эффективности вложений (норма доходности), характеризующим темп прироста стоимости за период.

Срок погашения долга (n) (англ. Number of periods) - интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом расчетных периодов, обычно равных по длине (например, месяц, квартал, год), в конце которых регулярно начисляются проценты.

Частота накоплений в год (k) - периодичность начисления процентовоказывает влияние на величину накопления. Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.

FV(англ. Future value)– будущая стоимость денежной единицы;

PV (англ. Present value) – текущая стоимость денежной единицы;

PMT (от англ. PayMenT)– равновеликие периодические платежи;

i – ставка дохода или процентная ставка;

n – число периодов накопления, в годах;

k – частота накоплений в год.

Накопленная сумма денежной единицы (Будущая стоимость денежной единицы) показывает, какую сумму будет составлять денежная единица, вложенная сегодня, через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности).

FV = PV* [(1+i) n ] или FV = PV* колонка.1

FV(в лекциях обозначается как S n) = PV* [(1+i/k) nk ]

+ см. вопрос 25

Текущая стоимость денежной единицы (реверсии (перепродажи)) PV показывает, какую сумму нужно иметь сегодня, чтобы через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности) получить сумму, равную денежной единице, то есть какой сумме сегодня эквивалентна денежная единица, которую мы рассчитываем получить в будущем через определенный период времени.

Начисление процентов 1 раз в год: PV = FV * или PV = FV *колонка.4

Начисление процентов чаще, чем один раз в год: PV = FV * (в лекциях PV обозначается как V n)

+ см. вопрос 26

Текущая стоимость аннуитета

Аннуитетные платежи (PMT) – это серия равновеликих платежей, поступающих в равные промежутки времени.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый(первое поступление не дисконтируется).

Обычный аннуитет:

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

(в лекциях PV обозначается как a n)

Авансовый аннуитет:
(в лекциях PV обозначается как a n)

+ см. вопрос 27

Накопление (рост) денежной единицы за период FV - будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступлений). Фактор накопления единицы за период показывает, какой будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого периодического интервала по истечении установленного срока.

Обычный аннуитет: (в лекциях FV обозначается как S n)

Авансовый аннуитет: (в лекциях FV обозначается как S n)

+ см. вопрос 28

Взнос на амортизацию денежной единицы - это величина регулярного периодического платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при процентной заданной ставке. Это величина, обратная текущей стоимости аннуитета. Амортизация в данном случае – это погашение (возмещение, ликвидация) долга в течение определенного времени.

Начисление процентов 1 раз в год:
(в лекциях PV обозначается как a n)

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:
(в лекциях PV обозначается как a n)

Фактор фонда возмещения - показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

25. Накопленная сумма денежной единицы как функция, позволяющая принять решение о будущей стоимости денег.

Будущая стоимость денежной единицы (FV) – накопленная сумма денежной единицы. Накопленная сумма денежной единицы показывает, какую сумму будет составлять денежная единица, вложенная сегодня, через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности).

Начисление процентов 1 раз в год: FV = PV* [(1+i)n] или FV = PV* кол.1

Начисление процентов чаще, чем один раз в год: FV = PV* [(1+i/k)nk]

#При определении ставки дохода на инвестиции как основного финансового критерия во внимание следует принять эффект сложного процента. Сложный процент означает, что уже полученный % будучи положенным на депозит вместе с первоначальными инвестициями становится частью основной суммы. Поэтому в следующем периоде наряду с первоначальным депозитом он также приносит новый %. Тогда как простой % не предполагает получения %-та на процент.

Накопленная сумма ден.ед. отвечает на вопрос о будущей стоимости сегодняшнего рубля. В ответе на этот вопрос существует правило 72-х (оно позволяет определить период удвоения первоначального капитала. Нужно 72 разделить на ставку процента. Наиб.эффективно при 3-18 %). Например, при ставке 6 % доходы удвоятся через 12 лет. Следует различать номинальную(рассчитывается в масштабе года[(1+i) n ]) и эффективную ставки процента (расчитывается исходя из условий периода начисления процента (день, месяц, квартал и т.д. [(1+i/k) nk ]).

26. Текущая стоимость единицы (реверсии) – основа оценки текущей стоимости инвестиционных результатов, предполагаемых к получению в будущем.

Текущая стоимость денежной единицы (PV) или текущая стоимость реверсии (перепродажи) показывает, какую сумму нужно иметь сегодня, чтобы через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности) получить сумму, равную денежной единице, то есть какой сумме сегодня эквивалентна денежная единица, которую мы рассчитываем получить в будущем через определенный период времени.

Начисление процентов 1 раз в год: PV = FV * или PV = FV * кол.4

Начисление процентов чаще, чем один раз в год: PV = FV *

# ТСЕ отвечает на вопрос о сегодняшней стоимости будущего рубля. В этой функ-и имеет место принцип дисконтирования , тогда как в накопленной сумме принцип накопления . Дисконтирование позволяет оценить потерю стоимости денег за счет увеличения (снижения) рисков, изменения степени ликвидности актива, а также ставки рефинансирования ЦБ РФ, являющейся базовой ставкой при расчете ставки дисконта.

V n =1/(1+E) n , где V n – текущая стоимость единицы, Е- ставка дисконта, n-число периодов начисления.

Доходность = чистый доход/инвест.актив.

Чем выше ставка дисконта, тем ниже дисконтирующие коэффициенты, тем больше потеря! Текущая стоимость реверсии противоположна накопленной сумме денежной единицы.

27. Текущая стоимость аннуитета: графическое описание и формализация.

Текущая стоимость аннуитета показывает, какой сумме денежных средств сегодня эквивалентна серия равномерных платежей в будущем, равных одной денежной единице, за определенное количество периодов при определенной ставке дисконта.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.

Обычный аннуитет:

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

Авансовый аннуитет:

Аннуитет – серия равновеликих платежей, поступающих в равные промежутки времени.

Текущая стоимость аннуитета показывает, какой сумме денежных средств сегодня эквивалентна серия равномерных платежей в будущем, равных одной денежной единице, за определенное количество периодов при определенной ставке дисконта.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый(первое поступление не дисконтируется, т.к. нет потери денег за счет фактора времени).

,i – ставка процента, Е – ставка дисконта.

Пример: Операц. доходы от бизнеса 100 000 руб. поступают в конце каждого года в теч. 15 лет при ставке дисконта 6%. Оценить поток денег(т.е. тек. ст-ть потока доходов)

Нужно 100 000* (колонка 5 фин. таблиц, см. ставка 6 %) = 100 000*9,71225=971225 руб.

28. Накопление (рост) денежной единицы за период.

Накопление денежной единицы за период FV - будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступлений). Фактор накопления единицы за период показывает, какой будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого периодического интервала по истечении установленного срока.

Обычный аннуитет:

Авансовый аннуитет:

Фактор накопления единицы за период позволяет ответить на вопрос о том, какой по истечении всего установленного срока будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого из периодических интервалов.

Пример: Студент по окончании каждого лета способен вносить 1000$ на счет, приносящий 10% годовых. Сколько у него окажется на счете к концу 4-го года?

Нужно 1000*(2 колонка, 10%)=1000*4,641=4641$

А,Б,В,Г представляют 1 руб.(или больше), депонированный в конце каждого из 4 лет.

Каждый депозит приносит сложный процент с момента депонирования до момента получения конечной суммы. Таким образом, накапливаются как все депонированные суммы, так и %-ты. Конечная стоимость= сумма всех депозитов и сложного %.

29. Фактор фонда возмещения – как способ определения сумм рефинансирования с целью обеспечения воспроизводства капитала.

Фактор фонда возмещения показывает денежную сумму, которую необходимо депонировать в конце каждого периода, для того чтобы через заданное число периодов остаток составил 1 руб.

Пример: Через 4 года необходимо получить (1 руб.) при ставке дохода 10%, то по окончании каждого из 4лет необходимо депонировать? = 0,21547=1руб * (3кол- 10% - 4г.), т.е. 21 коп.

#Фактор фонда возмещения - показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

30. Взнос на амортизацию денежной единицы: как методологическая основа оценки возврата капитала и его дохода.

Часто кредиты структурированы таким образом, что платежи в их погашении в течении установленного периода времени превышают % и позволяют полностью с амортизировать кредит.

Амортизацией называется % погашения(ликвидации) долга в течении времени.

Математически он определяется как отношение одного платежа к первоначальной основной сумме кредита. Он также показывает каким должен быть обязательный периодический платеж по кредиту включающий % и выплату основной суммы, и позволяющий погасить кредит в течении установленного срока.

Пример: Кредит в 270 тыс.руб. предоставлен по номинальной ставке 12%. Предусматривается ежегодный платеж в 34 425 руб.. каков срок погашения кредита? 34425/270=0,1275(12,7%), и 6 кол. – 12% = 25 лет.

Графически может быть представлен:

Где – текущая стоимость аннуитета, i - ставка %, n – число периодов, – текущая стоимость ед-цы

#Взнос на амортизацию денежной единицы - это величина регулярного периодического платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при процентной заданной ставке. Это величина, обратная текущей стоимости аннуитета. Амортизация в данном случае – это погашение (возмещение, ликвидация) долга в течение определенного времени.

Начисление процентов 1 раз в год:

Начисление процентов чаще, чем один раз в год:

31. Понятие о капитализации потока дохода.

Капитализация - оценка стоимости предприятия, земельного участка, ценных бумаг и другого имущества, посредством расчета приведенной суммы ожидаемых доходов, взятой за весь период его предполагаемого использования.

Капитализация как про цесс - это реинвестирование прибыли полученной в результате деятельности за определенный период. Этот процесс реинвестирования прибыли увеличивает балансовую стоимость компании и собственный капитал акционеров. Это, так называемая, реальная капитализация, когда полученная прибыль превращается в активный капитал.

Оценка стоимости бизнеса - первый шаг в капитализации

Рыночная стоимость предприятия (бизнеса) во многом зависит от того, каковы перспективы его деятельности. Не смотря на множество существующих сегодня методов оценки стоимости бизнеса и множество мнений по этому поводу, часто используется доходный подход. Доходный подход позволяет определить стоимость объекта оценки путем расчета текущей стоимости ожидаемых будущих доходов, которые будут получены от владения им.

Наибольшую сложность при реализации методов доходного подхода представляет процесс прогнозирования будущих дохо­дов. В случае капитализации дохода - это определение уровня дохода за первый прогнозный год (при этом предполагается, что доход будет такой же и в следующие прогнозные годы); в случае дисконтирования денежных потоков - это определе­ние уровня доходов за каждый будущий год всего прогнозного периода, а также в остаточный период.

Определение стоимости бизнеса (100% пакета акций) доходным подходом основано на предположении о том, что потенциальный инвестор не заплатит за данный объект сумму, большую, чем текущая стоимость будущих доходов от его использования. Собственник акций не продаст свой пакет по цене, которая ниже текущей стоимости прогнозируемых будущих доходов.

Данный подход оценки считается наиболее приемлемым с точки зрения инвестиционных мотивов, поскольку любой инвестор, в конечном счете, покупает не набор активов, а поток будущих доходов.

Двумя наиболее распространенными методами в рамках доходного подхода являются: капитализация дохода и дисконтирование денежного потока.

Метод капитализации дохода используется в тех случа­ях, когда доход от эксплуатации оцениваемого объекта стабилен.

Подход, основанный на капитализации доходов, по-видимому, оказывается более подходящим оценочным методом, когда текущая деятельность компании может дать определенное представление о ее будущей деятельности (исходя из предположения о нормальных темпах роста). С другой стороны, подход, основанный на дисконтировании будущих доходов, представляется более применимым, когда ожидается существенное изменение будущих доходов по сравнению с доходами от текущих операций. («Существенное изменение» означает заметное увеличение или уменьшение относительно сложившегося темпа роста). В некоторых случаях может оказаться желательным использовать при оценке стоимости компании оба эти подхода.

Общая характеристика подхода на основе капитализации. Формула этого подхода следующая:

При использовании подхода капитализации консультант-оценщик должен выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Получите (или подготовьте) финансовый отчет за репрезентативный период времени (обычно по меньшей мере за пять лет).

Шаг 2. Скорректируйте финансовые отчетные данные, полученные на шаге 1, в соответствии с требованиями GAAP или для нормализации отчетности. Если потребуются нормализационные корректировки для устранения воздействия на эти данные недействующих или излишних активов, следует рассмотреть стоимость этих активов в шаге 9. Определите, не следует ли скорректировать нормализованный показатель дохода с учетом дефицита активов. В качестве альтернативы, идентифицированные недостающие активы могут быть рассмотрены отдельно в шаге 9.

Шаг 3. Пересчитайте (или рассчитайте) подоходные налоги на нормализованный доход до вычета налогов, как он был определен в шаге 2. Результатом будет показатель скорректированной чистой прибыли.

Шаг 4. Если капитализируемым потоком доходов является денежный поток, то следует сделать дополнительные корректировки чистого дохода, полученного на шаге 3, чтобы прийти к валовому или чистому денежному потоку.

Шаг 5. Определите коэффициент капитализации для того потока доходов, который предстоит капитализировать. Во многих случаях этим потоком является чистая прибыль (шаг 3, см. выше), однако в определенных обстоятельствах измерителем может быть валовый денежный поток или чистый денежный поток (шаг 4, см. выше).

Шаг 6. Определите период деятельности компании, который послужит базой для капитализации. В большинстве случаев этим периодом бывает последний финансовый год или последние 12 месяцев; однако, в определенных обстоятельствах, более приемлемой базой расчета может оказаться прогноз на ближайший год или средний показатель за несколько прошлых лет.

Шаг 8. Проведите проверку на «здравый смысл», чтобы определить, насколько правдоподобна полученная оценка.

Шаг 9. Если на шаге 2 были проведены корректировки финансовой отчетности для учета влияния на оценку компании недействующих или излишних активов, определите подходящую стоимость этих активов на дату оценки и добавьте ее к стоимости, определенной на шаге 7. Если на шаге 2 был установлен недостаток активов, определите, может ли быть показатель стоимости компании уменьшен на стоимость таких недостающих активов. Если недостаток активов был учтен при нормализационной корректировке отчетности о доходах, операция по еще одному сокращению стоимости компании не требуется.

Шаг 10. Определите, требуется ли скорректировать полученную на шаге 9 стоимость для учета скидки за ликвидность, премии за контроль или скидки на неконтрольный характер пакета акций.

32. Понятие и экономическая сущность стоимости капитала.

http://www.cfin.ru/finanalysis/savchuk/6.shtml (+ 33-37)

Под стоимостью капитала понимается доход, который должны принести инвестиции для того, чтобы они себя оправдали с точки зрения инвестора. Стоимость капитала выражается в виде процентной ставки (или доли единицы) от суммы капитала, вложенного в какой-либо бизнес, которую следует заплатить инвестору в течение года за использование его капитала. Инвестором может быть кредитор, собственник (акционер) предприятия или само предприятие. В последнем случае предприятие инвестирует собственный капитал, который образовался за период, предшествующий новым капитальным вложениям и следовательно принадлежит собственникам предприятия. В любом случае за использование капитала надо платить и мерой этого платежа выступает стоимость капитала.

Обычно считается, что стоимость капитала - это альтернативная стоимость, иначе говоря доход, который ожидают получить инвесторы от альтернативных возможностей вложения капитала при неизменной величине риска. В самом деле, если компания хочет получить средства, то она должна обеспечить доход на них как минимум равный величине дохода, которую могут принести инвесторам альтернативные возможности вложения капитала.

Основная область применения стоимости капитала - оценка экономической эффективности инвестиций . Ставка дисконта , которая используется в методах оценки эффективности инвестиций, т.е. с помощью которой все денежные потоки, появляющиеся в процессе инвестиционного проекта приводятся к настоящему моменту времени, - это и есть стоимость капитала, который вкладывается в предприятие. Почему именно стоимость капитала служит ставкой дисконтирования? Напомним, что ставка дисконта - это процентная ставка отдачи, которую предприятие предполагает получить на заработанные в процессе реализации проекта деньги. Поскольку проект разворачивается в течение нескольких будущих лет, предприятие не имеет твердой уверенности в том, что оно найдет эффективный способ вложения заработанных денег. Но оно может вложить эти деньги в свой собственный бизнес и получить отдачу, как минимум равную стоимости капитала. Таким образом, стоимость капитала предприятия - это минимальная норма прибыльности при вложении заработанных в ходе реализации проекта денег.

На стоимость капитала оказывают влияние следующие факторы:

o уровень доходности других инвестиций,

o уровень риска данного капитального вложения,

o источники финансирования.

Рассмотрим каждый из факторов в отдельности. Поскольку стоимость капитала - это альтернативная стоимость, то есть доход, который ожидают получить инвесторы от альтернативных возможностей вложения капитала при неизменной величине риска, стоимость данного капитального вложения зависит от текущего уровня процентных ставок на рынке ценных бумаг (облигаций и акций). Если предприятие предлагает вложить инвесторам капитал в более рискованное дело, то им должен быть обеспечен более высокий уровень доходности. Чем больше величина риска, присутствующая в активах компании, тем больше должен быть доход по ним для того, чтобы привлечь инвестора. Это золотое правило инвестирования.

В настоящее время наблюдается возрастание, хотя и очень незначительное, интересов иностранных инвесторов в предприятия стран бывшего Советского Союза. Понятно, что такие капитальные вложения для иностранного инвестора являются очень рискованными (по крайней мере по сравнению с вложениями в предприятия западных стран). По этой причине, следуя золотому правилу инвестирования стоимость зарубежных капитальных вложений весьма велика - от 20 до 30 процентов. В то же время стоимость подобных капитальных вложений в предприятия собственных стран не превышает 20%.

Кроме этих факторов, на стоимость капитала оказывает влияние то, какие источники финансирования имеются у предприятия. Процентные платежи по заемным источникам рассматриваются как валовые издержки (то есть входят в себестоимость) и потому делает долговые источники финансирования более выгодными для предприятия. Но в то же время использование заемных источников более рискованно для предприятий, так как процентные платежи и погашения основной части долга необходимо производить вне зависимости от результатов реализации инвестиционного проекта. Стремясь снизить риск, предприятие увеличивает долю собственных привлеченных средств (производит дополнительную эмиссию акций). При этом, стимулируя инвестора производить вложения в собственность, оно вынуждено обещать более высокую отдачу при прямом вложении капитала в собственность. Инвестор также сознает, что вложение в собственность предприятия более рискованный вид инвестиций по сравнению с кредитной инвестицией, и поэтому ожидает и требует более высокую отдачу.

33. Подходы к определению стоимости капитала.

При изложении данного вопроса мы последовательно рассмотрим ряд частных простейших случаев с их последующим обобщением. При изложении первого примера будем абстрагироваться от налогового эффекта при вычислении стоимости капитала.

Пример 1. Пусть банк предоставляет предприятию кредит на условиях $2 на каждый имеющийся у него $1 собственных средств. Своих денег предприятие не имеет, но может привлечь акционерный капитал, начав выпуск акций. Банк предоставляет кредит по ставке 6%, а акционеры согласны вкладывать деньги при условии получения 12%. Если предприятию необходимы $3,000, то оно должно получить чистый денежный доход $2,000 0.06 = $120 с тем, чтобы удовлетворить требованиям банка и $1,000 0.12 = $120 для удовлетворения требований акционеров. Таким образом, стоимость капитала составит $240/$3,000 = 8%.

Точно такой же результат можно получить, используя следующую схему:

Такой подход часто называют вычислением взвешенной средней стоимости капитала, которая часто обозначается WACC (Weighted Average Cost of Capital).

Для того, чтобы определить общую стоимость капитала, необходимо сначала оценить величину каждой его компоненты.

Обычно структура капитала инвестиционного проекта включает

1. Собственный капитал в виде

o обыкновенных акций,

o накопленной прибыли за счет деятельности предприятия;

2. Сумму средств, привлеченных за счет продажи привилегированных акций;

3. Заемный капитал в виде

o долгосрочного банковского кредита,

o выпуска облигаций.

Рассматривая предприятия государственной формы собственности, работающие в рыночных (хозрасчетных) условиях, мы выделяем две компоненты:

1. Собственный капитал в виде

o накопленной нераспределенной прибыли

2. Заемный капитал в виде долгосрочных банковских кредитов

Ниже последовательно рассмотрены модели оценки каждой компоненты.

34. Модели определения стоимости собственного капитала.

Стоимость собственного капитала - это денежный доход, который хотят получить держатели обыкновенных акций. Различают несколько моделей, каждая из которых базируется на использовании информации, имеющейся в распоряжении того, кто оценивает капитал.

Модель прогнозируемого роста дивидендов. Расчет стоимости собственного капитала основывается на формуле

где Се - стоимость собственного капитала,
Р - рыночная цена одной акции,
D1 - дивиденд, обещанный компанией в первый год реализации инвестиционного проекта,
g - прогнозируемый ежегодный рост дивидендов.

Текущая цена одной обыкновенной акции компании составляет $40. Ожидаемая в следующем году величина дивиденда $4. Кроме того, предприятие планирует ежегодный прирост дивидендов 4%. Используя формулу (6.1) получаем

Данная модель применима к тем компаниям, величина прироста дивидендов которых постоянна. Если этого не наблюдается, то модель не может быть использована.

Ценовая модель капитальных активов (CAPM: Capital Assets Price Model).

Использование данной модели наиболее распространено в условиях стабильной рыночной экономики при наличии достаточно большого числа данных, характеризующих прибыльность работы предприятия.

Модель использует существенным образом показатель риска конкретной фирмы, который формализуется введением показателя . Этот показатель устроен таким образом, что

Фактор риска.

Изменение Се согласно модели (6.2) в зависимости от риска иллюстрируется графически с помощью следующего рисунка.

Рис. 6.1. Доходность собственного капитала компании

Возникает вопрос: как определить показатель для данного предприятия? Единственный разумный способ - это использование данных прошлых лет. По сравнительным данным прибыльности анализируемого предприятия и средней рыночной прибыльности строится соответствующая прямолинейная регрессионная зависимость, которая отражает корреляцию прибыльности предприятия и средней рыночной прибыльности. Регрессионный коэффициент этой зависимости служит основой для оценки - фактора. В передовых западных странах для ориентации потенциальных инвесторов печатают справочники, содержащие показатель для большинства крупных фирм.

Пример 3. Предприятие АВС является относительно стабильной компанией с величиной . Величина процентной ставки безрискового вложения капитала равна 6%, а средняя по фондовому рынку - 9%. Согласно ценовой модели капитальных активов стоимость капитала компании равна.