Индикатор Фрактал (Fractal) – описание.

Индикатор Фрактал (Fractal) разработанн Биллом Вильямсом и включенный им в свою торговую систему. Принято считать, что он является также создателем названия «фрактал» в трейдинге. Автор рекомендует использовать его в соединении с Аллигатором для определения максимумов или минимумов рынка.

Индикатор Фрактал (Fractal): определение

Фракталы с самого начала вызывали большой резонанс среди трейдеров. Многие считают, что Билл Вильямс использовал слишком много терминологии, причем не очень корректно. По своей сути фракталы – это экстремумы на локальных отрезках. Они не подходят под определение теории фракталов в математике. Такими же индикаторами можно назвать ТД-точки Демарка с порядком два. Но, не смотря на все эти споры, теория фракталов продолжает пользоваться популярностью среди трейдеров всего мира.

Классический Fractal вверх – это комбинация из минимум пяти свечей, причем средняя должна быть выше других (являться максимумом).

Фрактал вверх

Классический Fractal вниз – это комбинация из минимум пяти свечей, минимальное значение которых находится посередине ниже других.

Фрактал вниз

Разумеется, пять свечей – это не обязательное условие. Это количество лишь является минимальным. Важно последовательное снижение баров от максимального. Максимальное значение центрального бара – это также необязательное условие.
То есть барами считаются также такие комбинации.

Также Билом Вильямсом было введено еще одно правило – если наблюдается два одинаковых максимума (минимума) в одном фрактале, второй принято не учитывать.

Пример индикатора можно увидеть на рисунке:

Индикатор Фрактал (Fractal): применение

Выход цены из фрактала на один пункт и больше вверх воспринимается автором как прорыв покупателей.
Выход цены из фрактала на один пункт и больше вниз воспринимается автором как прорыв продавцов.

По методике Била Вильямся, индикатор применяется в стратегии прорыва. Но трейдеры используют эти прорывы покупателей или продавцов и в других стратегиях.

Прорывы являются точками немного выше которых открывается или закрывается позиция.

Фракталы применяются также в торговле со стоп-лоссами, последний в таком случае будет ставиться на самом дальнем экстремуме из последних фракталов, которые направлены в противоположные стороны.

Обычно (но не всегда) это предпоследний противоположный фрактал. Так, для покупки стоп - лосс будет установлен на уровне минимума из двух последних фракталов. Для продажи стоп-лосс устанавливают на уровне максимального значения двух последних фракталов.

Сущестует еще огромное количество правил. Мы решили описать только основные. Если Вас интересует тема использования индикатора Fractal, читайте книги Билла Вильямса «Торговый Хаос» и «Новые Измерения Биржевой Торговли».

Как правило, данный индикатор используется вместе с индикатором Аллигатор. При этом особое внимание уделяют их совместному расположению. Так, открытие сделки осуществляется, если фрактал пробивается вверх и фрактал при этом находится выше Зубов Аллигатора. Соответственно, продажа происходит, когда фрактал ниже Зубов Аллигатора.

5 Сен 2016 | 16:45 9 029 Опубликовано в

Фракталы – незаменимые помощники Форекс трейдеров. Впервые понятие «фрактал» разработал и внедрил в трейдинг гуру технического анализа Билл Вильямс в своей книге «Торговый хаос». Эта книга увидела свет в 1995 году. Тогда автор впервые описал фракталы в трейдинге на примере анализа фондового рынка.

Индикатор фрактал описание

Фрактал (Fractals) в Форекс трейдинге – это, по сути, локальный максимум или минимум. Он обозначается на графике цены как стрелка, указывающая вверх или вниз.

Фрактал представляет собой формацию из пяти свечей или баров, где третья свеча всегда имеет самый высокий максимум или самый низкий минимум по сравнению с остальными:

Согласно Биллу Вильямсу, для формирования фрактала свечей не обязательно должно быть пять, однако именно комбинация из пяти свечей завоевала наибольшую популярность из-за включения именно этой комбинации в список стандартных индикаторов торгового терминала MetaTrader 4.

Стоит отметить, что интерпретация фракталов от Билла Вильямса не имеет ничего общего с понятием этим же понятием в математике, однако это изобретение гуру технического анализа получило широкое распространение среди Форекс трейдеров.

Главное преимущество фракталов над другими инструментами технического анализа в том, что они отображают не только локальные максимумы и минимумы на графике, но и позволяют идентифицировать важные уровни поддержки и сопротивления для любого торгового инструмента.

Возможен ли Фрактал без перерисовки и запаздывания ? Исходя из принципа построения, фрактал всегда будет запаздывать на 2 и более свечи и ничего с этим не поделать. Перерисовка и запаздывание индикаторов — явление опасное, т.к. на истории индикатор выглядит очень эффективно, а на деле, когда появляется сигнал цена уже значительно отличается от сигнальной.

Практическое использование фракталов

На графике в терминале MetaTrader 4 фракталы выглядят следующим образом:

Каждая стрелка на графике представляет собой фрактал. Поскольку данный индикатор настроен на 5 свечей автоматически, то на экране фракталы появляются достаточно часто. Но при желании можно поискать и скачать себе индикатор, который предоставляет доступ к настройкам. То есть вы сможете указать терминалу, сколько свечей должно быть включено в один фрактал.

Билл Вильямс советовал использовать фракталы в стратегиях, которые базируются на пробое важных ценовых уровней. Движение цены выше или ниже хотя бы на один пункт от уровня предыдущего фрактала, по мнению автора этого индикатора, уже говорит о пробитии этого уровня ценой.

Пробитие уровня предыдущего фрактала называется прорывом покупателей в случае, если цена поднимается выше предыдущего фрактала, направленного вверх. В обратном случае, когда цена опускается ниже предыдущего фрактала, направленного вниз, говорят о прорыве продавцов . Билл Вильямс советовал расценивать прорыв покупателей или продавцов как сигнал к открытию позиции.

Обычно трейдеры выставляют отложенные Stop ордера на несколько пунктов выше или ниже фрактала для открытия позиции в случае пробития этого уровня. В таких случаях Стоп-лосс обычно выставляется на уровне предпоследнего противоположного фрактала. Такая ситуация представлена на графике ниже:

В классической интерпретации, Билл Вильямс советует фильтровать торговые сигналы, подаваемые фракталами, с помощью индикатора «Аллигатор». Так, для открытия позиции на покупку, необходимо, чтобы был пробит фрактал, находящийся выше красной линии (так называемые «Зубы аллигатора»). Автор стратегии советовал входить в рынок сразу после пробития фрактала вверх или же с помощью отложенного ордера BuyStop. Вход в рынок на продажу происходит в случае пробития фрактала, находящегося ниже красной линии.

«Аллигатор» как дополнение к фракталам

Билл Вильямс применял фракталы вместе с его другим изобретением – индикатором «Аллигатор» на американском фондовом рынке, однако такой подход применим не только к фондовому рынку, но и к Форекс.

На валютном рынке можно использовать еще одно отличное свойство фракталов, а именно – построение сетки Фибоначчи с помощью них. Как известно, сетка Фибоначчи растягивается между локальными минимумом и максимумом. Именно для этого трейдеры могут использовать фракталы. Таким образом, участок между двумя фракталами можно считать ценовым движением, к которому уже можно применять методику коррекций и расширений Фибоначчи.

По мнению автора, фракталы являются одними из немногих инструментов технического анализа, которые действительно работают. Именно торговые стратегии с использованием фракталов могут показывать положительные результаты на протяжение длительного периода времени (500 сделок и выше).

Но необходимо понимать, что успешная торговая система не может быть построена только лишь на одном индикаторе. Необходимо использовать еще 1-2 инструмента для повышения эффективности.

Так, например, трейдер может использовать фракталы для определения уровней входа в рынок, а «Аллигатор» использовать в качестве фильтра, чтобы не открывать позиции на пробой уровня во время отсутствия тренда на рынке (флэта).

Появлению фракталов предшествовало открытие французского математика Бенуа Мандельброта, который выявил симметричность в изменении колебаний цен на разных временных отрезках. Кстати, такую геометрическую закономерность в алгебраическом ряде цифр французу удалось проследить на основе столетних данных по цене на хлопок. Причем работа на компанию IBM (США) с доступом к компьютерной технике еще в 1975 году...

Появлению фракталов предшествовало открытие французского математика Бенуа Мандельброта, который выявил симметричность в изменении колебаний цен на разных временных отрезках. Кстати, такую геометрическую закономерность в алгебраическом ряде цифр французу удалось проследить на основе столетних данных по цене на хлопок.

Какова суть фрактала

Наиболее простое и доходчивое для трейдеров понятие «фрактал», введенное в обиход тем же Бенуа Мандельбротом, означает систему из ряда геометрических фигур, создающих единый потенциал данных, причем каждая составная часть может относиться к законченной модели. Главная особенность фрактала заключается в возможности прогнозирования следующей надстройки, образующей новый геометрический модуль. Подобные прогнозы позволяют с большой вероятностью определить будущий диапазон цен движения активов.

Какие факторы позволяют применять фракталы для заработка

Особенности рынка Форекс предопределяют главное назначение фрактального анализа, состоящее исключительно в определении трендового движения активов. Индикатор фракталов позволяет трейдеру работать на опережение, выявляя зарождение и затухание тенденции, что не свойственно всей остальной массе подобных форекс-инструментов. И это понятно, так как классические индикаторы тренда рассчитываются на основе линейных функций, в отличие от нестандартного моделирования преломляющихся геометрических фигур на графиках Форекс.

Почему фрактальная теория имеет практическую ценность в торговле на Форекс

Большинство методик заработка трейдингом не опирается на устойчивые системы данных при принятии решений по торговым операциям. Напротив, отличительной чертой фрактального анализа стали модели графических изображений, позволяющие работать с неизменными данными, что особенно проявляется на долгосрочном рынке. Здесь при принятии решений игнорируются все предыдущие показатели движения рынка, а за основу берутся лишь характеристики вновь образованной ценовой модели. Хотя основанием для торговой операции трейдера могут стать данные котировок активов из множества точек на графике рыночного движения в довольно большом количестве отдельных графических фигур. Вообще, сам факт появления фрактальной геометрии обязан программному моделированию, поэтому просчитать большое количество показателей возможно при помощи компьютерного оборудования.

Практическое применение фракталов на Форекс простым трейдером

Распространенным способом моделирования фракталов стали схемы из набора определенного количества японских свечей и их месторасположения относительно друг друга. Например, набора из пяти свечей (баров) достаточно для образования фрактала, но при условии наличия верхнего или нижнего экстремального значения в его центральном баре. Поэтому существует лишь два вида таких наборов – фрактал вверх и вниз.

Создавать фракталы можно также при помощи других графических инструментов и ряда числовых значений цен активов. Как уже отмечалось, формирование фрактала является предпосылкой в прогнозировании нового тренда на рынке либо продолжения старой тенденции. Поэтому такие известные графические фигуры, как «Голова и плечи», «Две вершины», «Три пика», «Флаг», имеют прямое отношение к фрактальной геометрии, являясь разворотными моделями на Форекс. В определенных ситуациях разные графические фигуры-фракталы могут содержать двойственный смысл, то есть указывать на тренд либо разворот рынка одновременно. Что трейдеру необходимо применить для повышения вероятности прогнозов фракталов в любых случаях рыночного движения?

Как лучше использовать фракталы в торговле

Подобно другим методикам на рынке Форекс применение фрактального способа в качестве единственного аналитического инструмента в трейдинге не способствует постоянному заработку биржевиков. Чтобы подтвердить назначение фрактала, трейдеру настоятельно рекомендуется применять дополнительные инструменты анализа рыночного движения. Здесь наиболее выгодна торговая система «Волны Элиота», а также «Уровни Фибоначчи». Например, применяя сетку Фибоначчи, трейдер сможет узнать так называемый фрактальный рычаг по признаку мощности отката актива (38 или 62%), что предопределяет вероятную силу дальнейшей тенденции. Одновременное наложение на график тренда волн Элиота и фрактала позволяет получить наиболее точное описание рыночной ситуации и местонахождения актива по отношению к тренду. Именно так выявляется коррекционное движение, продолжение тенденции либо разворот рынка с начальной точкой нового тренда (фрактальный стоп).

Ввиду принадлежности фракталов к любым таймфремам, так как они возникают всегда и везде на графике Форекс, необходимо отмести ложные фрактальные сигналы. Здесь важно слияние фракталов различных таймфреймов, не противоречащих друг другу. Поэтому открывать позицию лучше на таймфрейме с наибольшим значением по направлению рыночной тенденции, о чем предупреждает трендовая система Билла Вильямса.

Широко используется торговля на пробое фракталов, где вход в рынок также необходимо осуществлять по тренду. Но прежде стоит остановиться на анализе пробоя уровня фрактала, где хорошим инструментом станет пробойная свеча. Кроме этого, явным сигналом для большого движения после пробоя могут стать несколько фракталов, сосредоточенные у одного ценового уровня.

Вместо заключения

Даже отдельный фрактал дает много возможностей трейдеру для аналитической работы. Главное здесь отделить ложный сигнал от перспективной графической модели, что без дополнительного торгового метода выглядит трудновыполнимой задачей. Среди трейдеров популярна торговая система на пробоях фракталов, имеющая наивысший коэффициент использования в трейдинге. Но что самое существенное сможет взять трейдер от фрактального анализа, так это точно оценить ситуацию с позиции трендового или флэтового состояния рынка. В свою очередь, это позволит заключить самый выгодный во всех отношениях контракт.

Чтобы успешно торговать на Форексе, нужно выбрать надежного брокера. Для этого нужно как следует изучить предложения и отзывы уже давно работающих трейдеров с определенными брокерами. Все это легко сделать с помощью

Чтобы преуспеть в трейдинге, необходимо понимать, как устроены основные виды стратегий. В данной публикации разберем одну из самых интересных стратегий, которые используются в трейдинге на сегодняшний день. Разделы фрактальной стратегии торговли бинарными опционами:

Наверняка слово «гуру» вас будет смущать, но не стоит обращать на это внимания. Ведь сама стратегия интересная и полезная. Давайте в ней разберемся при помощи графиков, которые являются незаменимым звеном в торговле с помощью площадки Метатрейдер. Стратегия может смущать по той причине, что в ней используется специальный индикатор, который мы будем называть ADX и никак иначе. Создателем стратегии является господин Притьяни, а почитать ее в оригинале можно в Интернете. Начнем с того, что в стратегии задействованы фракталы. Именно с них стоит начать. И еще один важный совет – изучая какую-либо , не торопитесь! Посвятите ей время целиком, и вы увидите, что она станет вам надежным помощником.

Что такое фракталы?

Фрактал – это важная и неотъемлемая часть стратегии. Разработан он был небезызвестным Уильямсом. Стоит отличать фракталы трейдинга от тех, что используются в математике. Существует так называемый медвежий фрактал, который состоит из пяти свечей. Такая конструкция создается в том случае, если максимальное значение средней свечи больше, чем максимальные значения других свечей (есть еще свечи слева и справа, но нас интересует та, что в середине). Есть еще бычий фрактал. Те же 5 свечей, но в нем вместо максимума средней свечи должен быть минимум. Это не сложно, если посмотреть на картинки в Интернете.

Многие полагают, что самая большая проблема в том, чтобы понять, какой фрактал перед тобой, и выявить его. Но по правде это не очень тяжело: это можно делать с помощью специальной серой стрелки, расположенной под специальной свечей (та, что в середине). Стрелка работает автономно, то есть она будет появляться в тот момент, когда наш индикатор поймает фрактал. Теперь понятно, для чего нужен ? Этот уникальный индикатор для торговли – весьма полезная штука, если понимать, как его использовать. Не зря он применяется в торговой площадке Метатрейдер.

Чтобы начать работать с индикатором, установите ADX, а также фракталы с помощью нужных кнопок. Есть еще один интересный совет от самого создателя: фрактал состоит из пяти свечей. Стрелка напрямую зависит от свечи, расположенной посередине. Работать со сделками нужно только в том случае, если произошло открытие свечи. На словах это кажется сложным, но в реальности нет ничего проще. Просто попробуйте проверить сами!

Учимся применять стратегию на деле

Мы уже поняли, что главный элемент стратегии – наш индикатор. Сделка происходит тогда, когда ADX растет. То есть зеленая полоса перемещается над другой (красной), чтобы создать фрактал, закончить его и сформировать (должны быть заполнены все свечи до единой). Напоминаем, что их пять. Это важно! Весьма важно понимать, что в сделку надо входить только в том случае, если стрелка достигла нужного размера. По этапам это выглядит так: образуется точка открытия, происходит вступление в сделку, в этот момент цветные полосы начинают движение.

Все это сигналы, которые показывают, когда лучше всего вступать в сделку, чтобы повыситься. А вот если вы вступаете в сделку с желанием понизиться, то все будет иначе. Главную роль по-прежнему будет играть ADX, который демонстрирует направление.

Для сделки на повышение существуют следующие явления:

• рост синей линии индикатора;
• падение зеленой полосы и переход на красную;
• полное закрытие свечей (бычий фрактал);
• свеча удлиняется и становится продолжением стрелки.

Сигналы для сделки на понижение:

• рост синей линии;
• падение зеленой полосы под красную;
• полное закрытие медвежьего фрактала, полное формирование;
• длинный хвост указывает на фрактальную стрелку.

Недостатки Фрактальной стратегии

Да, и еще раз да, стратегия весьма сложная, и начинающие трейдеры не сразу смогут оценить ее. Путаницы часто случаются с линиями ADX, свечами фракталов, многие не понимают, когда и как вступать в сделку, не могут разобраться с фрактальной стрелкой. Другие не признают ADX, хотя разработчик и говорил, что движение ADX указывает на необходимые значения для стратегии. Надо сказать, что нет точных ответов на многие вопросы, которые касаются этой стратегии. Важно научиться определять восходящую линию индикатора – это поможет начать вступать в сделки без ошибок.

Достоинства Фрактальной стратегии

В основу стратегии входят разумные принципы. Именно они приводят трейдеров к успеху: торговля происходит тогда, когда индикатор ADX становится выше. А что такое фрактал? А это указатель возврата цены. Когда возврат цены произойдет, наступит самый лучший момент, чтобы присоединиться к трендам. Хвост свечи – это дополнительный подтверждающий сигнал, который говорит, когда нужно действовать, и подстраховывает. Почему эта стратегия хороша? Потому что она предлагает безопасные и надежные точки, чтобы вступить в сделку. ADX индикаторы указывают нам на это – получается, одной головной болью меньше.

Не стоит пугаться фракталов, они не сложны и при этом очень полезны. Да, они непостоянны, стрелка все время хочет куда-то улизнуть, а иногда и вовсе сбивает трейдеров, мешая анализировать следующий ход. Поэтому можно сделать заключение, что эффективность стратегии зависит от того, кто ее использует. Если трейдер умный и быстро схватывает, то ему она принесет прибыль. Если же трейдер думает медленно и подолгу втягивается, лучше попробовать другие виды стратегий, а эту выкинуть куда подальше.

Работая с Фрактальной стратегией для гуру, не стоит забывать, что все-таки она создана для гуру, для экспертов и людей опытных. Новичкам на первых порах надо учиться другим вещам, поэтому, считаем, что все закономерно. Если вы перешли к изучению этой стратегии, и у вас стало получаться, то поздравьте себя – вы добились звания гуру, получили важные умения и навыки, которые дают возможность двигаться дальше. Надеемся, что Фрактальная стратегия вам в этом поможет!

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов «Почему?» многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос «Почему?», на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.

Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.

⇡ Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot).

Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Что же это такое? Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора.

Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).

Гастон Жюлиа (всегда в маске — травма с Первой мировой войны)

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, загрузив анимационный GIF .

⇡ Лорен Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.

Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.

Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.

Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму

Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.

Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.

Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.

В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.

⇡ Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше

За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак — ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком — отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.

Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.

Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.

Существуют также другие разновидности «кривой Коха», но примерная форма кривой остается похожей

Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.

Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems , справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.

⇡ Фрактальные измерения: умом не понять

Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера.

Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности — нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.

Чем меньше мера при измерении, тем больше измеряемая длина

Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.

На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр — так называемую фрактальную размерность.

Что такое обычная размерность — понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два — плоскую фигуру, три — объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как «неровность». Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.

В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.

⇡ Фрактал в браузере

Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman . В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.

В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы — четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, — браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.

⇡ XaoS: фракталы на любой вкус

Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS . Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.

XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.

⇡ Fractal Zoomer: компактный фрактальный генератор

По сравнению с другими генераторами изображений фракталов имеет несколько преимуществ. Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Вы можете выбирать оттенки в цветовых моделях RGB, CMYK, HVS и HSL.

Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета.

Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить.

⇡ Mandelbulb3D: редактор трехмерных фракталов

Когда употребляется термин «фрактал», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи.

А еще этот фрактал можно съесть

Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D . Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт (Daniel White) и Пол Ниландер (Paul Nylander), преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым».

Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое. Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта.

Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм.

Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры. В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации.

Incendia позволяет экспортировать фрактальную модель в популярные форматы трехмерной графики — OBJ и STL. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica — специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие.

В последнее время работа над проектом Incendia несколько затормозилась. На данный момент автор ищет спонсоров, которые помогли бы ему развивать программу.

Если вам не хватает фантазии нарисовать в этой программе красивый трехмерный фрактал — не беда. Воспользуйтесь библиотекой параметров, которая находится в папке INCENDIA_EX\parameters. С помощью файлов PAR вы сможете быстро найти самые необычные фрактальные формы, в том числе и анимированные.

⇡ Aural: как поют фракталы

Мы обычно не рассказываем о проектах, работа над которыми только ведется, однако в данном случае мы должны сделать исключение, уж очень это необычное приложение. Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.

Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов — достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот. Послушать, как звучат фракталы, и .

Фракталы: музыкальная пауза

Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон (Jonathan Coulton), который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая (при использовании в некоммерческих целях) предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение (создание производных произведения), чтобы приспособить его к своим задачам.

У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы.

⇡ Заключение

Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.